最小二乘法（数学优化技术）

最小二乘法，又称最小平方法是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法（数学优化技术）

特性

根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差，或最佳，Best性、线性，Linear及无偏，Unbiased性，简称为BLU特性。这就是广泛应用普通最小二乘法估计经济计量模型的主要原因。下面证明普通最小二乘估计量具有上述三特性。

1、线性特性

所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。

2、无偏性

无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。

3、最小方差性

所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。最小方差性又称有效性。这一性质就是著名的高斯一马尔可夫，Gauss-Markov定理。这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。

优化问题

在无约束最优化问题中，有些重要的特殊情形，比如目标函数由若干个函数的平方和构成，这类函数一般可以写成：

其中，通常要求m≥n，我们把极小化这类函数的问题：

称为最小二乘优化问题。最小二乘优化是一类比较特殊的优化问题。

基本思路

最小二乘法是解决曲线拟合问题最常用的方法。其基本思路是：令

其中，是事先选定的一组与线性关系无关的函数，是待定系数，拟合准则是使与的距离的平方和最小，称为最小二乘准则。

基本公式

考虑超定方程组，超定指未知数小于方程个数：

其中m代表有m个等式，n代表有n个未知数，m>n；将其进行向量化后为：

最小二乘法（数学优化技术）

，，

最小二乘法（数学优化技术）

显然该方程组一般而言没有解，所以为了选取最合适的让该等式”尽量成立”，引入残差平方和函数S

最小二乘法（数学优化技术）

，在统计学中，残差平方和函数可以看成n倍的均方误差MSE

当时，取最小值，记作：

通过对进行微分求最值，可以得到：

如果矩阵非奇异则有唯一解：

最小二乘法（数学优化技术）

原理

在我们研究两个变量，x,y之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据，x1,y1.x2,y2…xm,ym；将这些数据描绘在x-y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如，式1-1。，式1-1

其中：a0、a1是任意实数

为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用计算值Yj，Yj=a0+a1Xi，式1-1的离差，Yi-Yj的平方和最小为“优化判据”。

令：φ=，式1-2）

把，式1-1代入，式1-2中得：

φ=，式1-3）

当最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

∑2（a0+a1*Xi-Yi=0，式1-4）

∑2Xi，a0+a1*Xi-Yi=0，式1-5）

亦即：

na0+，∑Xi）a1=∑Yi，式1-6）

，∑Xi）a0+，∑Xi^2）a1=∑，Xi*Yi），式1-7）

得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：

a0=，∑Yi）/n-a1，∑Xi）/n，式1-8）

a1=[n∑（XiYi）-，∑Xi∑Yi）]/（n∑Xi^2-∑Xi∑Xi），式1-9）

这时把a0、a1代入，式1-1中，此时的（式1-1就是我们回归的一元线性方程即：数学模型。

在回归过程中，回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点，x1,y1.x2,y2…xm,ym，为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0越好。

R=[∑XiYi-m，∑Xi/m，∑Yi/m）]/SQR{[∑Xi2-m，∑Xi/m）2][∑Yi2-m，∑Yi/m）2]}，式1-10）*

在，式1-10中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别为任意一组实验数据X、Y的数值。

方法

以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类，如决策树，支持向量机等，如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面。

对于一元线性回归模型,假设从总体中获取了n组观察值，X1，Y1，，X2，Y2，…，，Xn，Yn。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差，即总残差达到最小。有以下三个标准可以选择：

，1用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。

，2用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。

，3最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

最常用的是普通最小二乘法，OrdinaryLeastSquare，OLS：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。，Q为残差平方和-即采用平方损失函数。

样本回归模型：

其中ei为样本，Xi,Yi的误差。

最小二乘法（数学优化技术）

平方损失函数：

则通过Q最小确定这条直线，即确定β0和β1，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

最小二乘法（数学优化技术）

根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。

最小二乘法（数学优化技术）

解得：

这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。

最小二乘法（数学优化技术）

公式

拟合

对给定数据点集合，在取定的函数类中，求，使误差的平方和最小，。从几何意义上讲，就是寻求与给定点集的距离平方和为最小的曲线y=p（x）。函数p（x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p（x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

最小二乘法（数学优化技术）

最小二乘法的矩阵形式

最小二乘法的矩阵形式为：

其中为的矩阵，为的列向量，为的列向量。如果，方程的个数大于未知量的个数，这个方程系统称为矛盾方程组，OverDeterminedSystem，如果，方程的个数小于未知量的个数，这个系统就是UnderDeterminedSystem。

最小二乘法（数学优化技术）

正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算，解出其中的。比较直观的做法是求解，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对进行QR分解，，其中是正交矩阵，OrthonormalMatrix，是上三角矩阵，UpperTriangularMatrix，则有

最小二乘法（数学优化技术）

用MATLAB命令

x=R（Qb）

可解得。

最小二乘法的Matlab实现

①一次函数线性拟合使用polyfit，x,y,1

②多项式函数线性拟合使用polyfit，x,y,n，n为次数

拟合曲线

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。

解：MATLAB程序如下：

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit（x,y,2）x1=0.5:0.5:3.0;y1=polyval（p,x1）;plot（x,y,’*r’,x1,y1,’-b’）

计算结果为：

p =0.5614 0.8287 1.1560

即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560

③非线性函数使用

lsqcurvefit（fun,x0,x,y）a=nlinfit（x,y,fun,b0）

最小二乘法在交通运输学中的运用

交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。交通发生预测通常有两种方法：回归分析法和聚类分析法。

回归分析法是根据对因变量与一个或多个自变量的统计分析，建立因变量和自变量的关系，最简单的情况就是一元回归分析，一般式为：Y=α+βX式中Y是因变量，X是自变量，α和β是回归系数。若用上述公式预测小区的交通生成，则以下标i标记所有变量；如果用它研究分区交通吸引，则以下标j标记所有变量。而运用公式的过程中需要利用最小二乘法来求解，上述公式中的回归系数根据最小二乘法可得：

其中，式中的X拔是规划年的自变量值，Y拔是规划年分区交通生成，或吸引预测值。